必要條件：
令 $G$ 為一個 bipartite，因為在 $G$ 中每走過一條邊，就會進入另一組 bipartition，所以要從某一點出發再走回該點，必定要走偶數次，故 $G$ 沒有 odd cycle。
充分條件：
令 $G$ 為無 odd cycle 的圖，並建構 $G$ 的 bipartite，從中選取一個 nontrivial component $H$，再從 $H$ 中選定 $u$ 點，令 $f(v)$ 為 $u$ 到 $H$ 中的任意點 $v$ 的最短路徑，然後我們畫分兩個集合：
\[X=\{v \in V(H):f(v)\ is\ even\}\\ Y=\{v \in V(H):f(v)\ is\ odd\}\]觀察發現 $X$、$Y$ 各自在 bipartite 的一個集合中，如下圖。
我們可以在 $X$ 或 $Y$ 集合中任找兩個點 $v$ 與 $v’$（$v$ 與 $v’$ 必須同在 $X$ 或 $Y$ 集合），並新增一個邊連接 $vv’$，如此便完成一個 odd cycle，然而依據 bipartite 的定義，同一個 partition 的點之間不能有邊，$vv’$ 會直接破壞 bipartite：
因此有 odd cycle 的圖必不為 bipartite。
