linear system
擁有 $n$ 個未知數的 linear equation (線性方程式) 表示為
\[a_1x_1+a_2x_2+ \cdots +a_nx_n=b\]一個 $m \times n$ 的 linear system (線性系統)，即擁有 $m$ 個方程式與 $n$ 個未知數的聯立方程組表示為
\[\begin{align*} & a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \cdots +a_{1n}x_n=b_1 \\\\ & a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots +a_{2n}x_n=b_2 \\\\ & \vdots \\\\ & a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+ \cdots +a_{mn}x_n=b_2 \end{align*}\]舉個例子，以下為一個 $3\times 2$ 的線性系統
\[\begin{align*} & x_1+x_2=2 \\\\ & x_1-x_2=1 \\\\ & x_1=4 \end{align*}\]一個線性系統的解可以用 $n$ 個元素的 tuple (元組) 來表達，如 $(x_1,x_2)=(1,2)$。若一個線性系統有解，則稱其為 consistent system (相容方程組)；若一個線性系統無解，則稱其為 inconsistent system (矛盾方程組)
equivalent
如果兩個線性系統有相同數目的未知數，並且有相同的解(必須是一樣的集合)，則稱這兩個系統為 equivalent systems(等效系統)。對一個線性系統座以下三種操作可以得到等效系統
- 調換方程式順序
- 對方程式等號左右同乘一個常數
- 將同一系統的兩個方程式相加，替換掉原本的方程式
這三種操作在矩陣中也稱作 row operation
strict triangular form
若一個系統的第 k 個方程式的前 k - 1 個係數皆為 0，則稱其為 strict triangular form，如下
\[\begin{align*} 3x_1+2x_2+x_3&=1 \\ x_2-x_3&=2 \\ 2x_3&=4 \end{align*}\]用 strict triangular form 可以直接求得最末端的變數，並且透過 back substitution 求得線性系統的解。透過 augmented matrix (增廣矩陣) 可以很容易求得 strict triangular form
\[\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & -1 & -3 & -1 \end{array} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & -7 & -6 & -10 \end{array} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array} \right]\]